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      <span class="sider-title">章节索引</span>
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  <nz-content class="content-main" #contentMain>
    <div class="text-title">
      <h1>第二章 矩阵</h1>
    </div>
    <!-- 各章节内容（省略，与之前相同） -->
    <section id="section1" class="content-section">
      <p class="text-subtitle">矩阵的定义及其基本运算</p>
      <p class="text-subsubtitle">一、矩阵的定义</p>
      <p class="text-content">
        由m×n个数<app-formula formulaString="a_{ij}"></app-formula>
        (i=1,2,...,m;j=1,2,...,n;)排列成的m行n列的矩形表格：<app-formula formulaId="matrix-mxn" [displayMode]="true"></app-formula>
        称为一个mxn矩阵，简记为A.当m=n时，称A为n阶方阵.两个矩阵A和B，若行列数分别相等，则A和B为同型矩阵.
      </p>
      <p class="text-subsubtitle">二、矩阵的基本运算</p>
      <p class="text-content-bold">(1)相等：<span class="text-content">A，B为同型矩阵，且对应元素相等.</span>
      <p class="text-content-bold">(2)相加：<span class="text-content">A，B为同型矩阵时，可以相加.C=A+B,其中<app-formula formulaString="c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}"></app-formula>.
      </span>
      <p class="text-content-bold">(3)数乘矩阵：<span class="text-content">设k是一个数，A是一个mxn的矩阵.数k和A的乘积被称为数乘矩阵，即
      k<app-formula formulaId="matrix-mxn" [displayMode]="false"></app-formula>=<app-formula formulaId="kmatrix-mxn" [displayMode]="false"></app-formula>
      </span>
      <p class="text-content-bold">(4)矩阵的乘法：<span class="text-content">设A是m×s矩阵，B是s×n矩阵（矩阵A的列数必须与矩阵B的行数相等），则A，B可以相乘，乘积AB是m×n矩阵，记C=AB=<app-formula formulaString="(c_{ij})_{mn}"></app-formula>.
      C的第i行第j列元素<app-formula formulaString="c_{ij}"></app-formula>是A的第i行的s个元素与B的第j列的s个对应元素两两乘积之和，即
      <app-formula formulaString="c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{is}b_{sj} = \sum_{k=1}^{s} a_{ik}b_{kj} \quad (i=1,2,\cdots,m; \quad j=1,2,\cdots,n)" [displayMode]="true"></app-formula>
    </span>
      <p class="text-content-bold">(5)转置矩阵：<span class="text-content">将mxn矩阵A=<app-formula formulaString="(a_{ij})_{mn}"></app-formula>.的行与列互换得到的nxm矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为<app-formula formulaId="AT" [displayMode]="false"></app-formula>
    ,即<app-formula formulaId="AT" [displayMode]="false"></app-formula>=<app-formula formulaId="matrix-nxm" [displayMode]="false"></app-formula>.</span>
      </p>
    </section>
    <section id="section2" class="content-section">
      <p class="text-subtitle">矩阵的逆</p>
      <p class="text-subsubtitle">一、逆矩阵的定义</p>
      <p class="text-content">
        (1)A，B是n阶方阵，E是n阶单位矩阵，若AB=BA=E，则称A是可逆矩阵，并称B是A的逆矩阵，且逆矩阵是唯一的，记作<app-formula formulaId="A-1" [displayMode]="false"></app-formula>.
      </p>
      <p class="text-content">
        (2)A可逆的充分必要条件是<app-formula formulaId="|A|" [displayMode]="false"></app-formula><app-formula formulaString="\ne{0}"></app-formula>.
      </p>
      <p class="text-subsubtitle">二、逆矩阵的性质与重要公式</p>
      <p class="text-content">
        设A,B是同阶可逆方阵，则</p>
      <p class="text-content">
        (1)<app-formula formulaString="(\boldsymbol{A}^{-1})^{-1} = \boldsymbol{A}"></app-formula></p>
      <p class="text-content">
        (2)若k<app-formula formulaString="\ne{0}"></app-formula>，则<app-formula formulaString="\ (k\mathbf{A})^{-1} = \frac{1}{k}\mathbf{A}^{-1}"></app-formula>.</p>
      <p class="text-content">
        (3)AB也可逆，且<app-formula formulaString="(\boldsymbol{AB})^{-1} = \boldsymbol{B}^{-1}\boldsymbol{A}^{-1}"></app-formula></p>
      <p class="text-content">
        (4)<app-formula formulaId="AT" [displayMode]="false"></app-formula>也可逆，且<app-formula formulaString="(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}})^{-1} = (\boldsymbol{A}^{-1})^{\mathrm{T}}"></app-formula></p>
      <p class="text-content">
        (5)<app-formula formulaString="\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right| = |\boldsymbol{A}|^{-1}."></app-formula>.
      <p class="text-notes">
      A+B不一定可逆，且<app-formula formulaString="(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1} \neq \boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{B}^{-1}"></app-formula>
    </p>
      <p class="text-subsubtitle">三、用定义法求可逆矩阵的逆矩阵</p>
      <p class="text-content-bold">方法一 <span class="text-content">定义法.依定义进行求解，即求一个矩阵B，使AB=E,则A可逆，且<app-formula formulaId="A-1" [displayMode]="false"></app-formula>=B.</span></p>
      <p class="text-content-bold">方法二 <span class="text-content">将A分解为若干个可逆矩阵的乘积.因两个可逆矩阵的积仍是可逆矩阵，即若A=BC，其中，B，C均可逆，则A可逆，且
        <app-formula formulaString="\boldsymbol{A}^{-1} = (\boldsymbol{BC})^{-1} = \boldsymbol{C}^{-1}\boldsymbol{B}^{-1}" [displayMode]="true"></app-formula>.
      </span>
      </p>
    </section>
    <section id="section3" class="content-section">
      <p class="text-subtitle">伴随矩阵</p>
      <p class="text-subsubtitle">一、伴随矩阵的定义</p>
      <p class="text-content">
       将行列式<app-formula formulaId="|A|" [displayMode]="false"></app-formula>的 <app-formula formulaString="n^{2}"></app-formula>个元素的代数余子式按如下形式排列成的矩阵称为A的伴随矩阵，记作<app-formula formulaId="A*" [displayMode]="false"></app-formula>，即
        <app-formula formulaId="A*mxn" [displayMode]="true"></app-formula>
        且有<app-formula formulaString="\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{*} = \boldsymbol{A}^{*}\boldsymbol{A} = |\boldsymbol{A}|\boldsymbol{E}"></app-formula>.
      </p>
      <p class="text-subsubtitle">二、伴随矩阵的性质与重要公式</p>
      <p class="text-content">
        (1)对任意n阶方阵A，都有伴随矩阵<app-formula formulaId="A*" [displayMode]="false"></app-formula>，且有公式<app-formula formulaString="\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{*} = \boldsymbol{A}^{*}\boldsymbol{A} = |\boldsymbol{A}|\boldsymbol{E},\quad |\boldsymbol{A}^{*}| = |\boldsymbol{A}|^{n-1}" [displayMode]="true"></app-formula>
        当<app-formula formulaId="|A|" [displayMode]="false"></app-formula><app-formula formulaString="\ne{0}"></app-formula>时，有
        <app-formula formulaString="\boldsymbol{A}^{*}=|\boldsymbol{A}|\boldsymbol{A}^{-1},\quad \boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}\boldsymbol{A}^{*},\quad \boldsymbol{A}=|\boldsymbol{A}|\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1};" [displayMode]="true"></app-formula>
        <app-formula formulaString="(k\boldsymbol{A})(k\boldsymbol{A})^{*} = |k\boldsymbol{A}|\boldsymbol{E};" [displayMode]="true"></app-formula>
        <app-formula formulaString="\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{*}=\left|\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right|\boldsymbol{E};" [displayMode]="true"></app-formula>
        <app-formula formulaString="\boldsymbol{A}^{-1}\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{*}=\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|\boldsymbol{E};" [displayMode]="true"></app-formula>
        <app-formula formulaString="\boldsymbol{A}^{*}\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{*}=\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|\boldsymbol{E}." [displayMode]="true"></app-formula>
        (2)<app-formula formulaString="\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{*}=\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{\mathrm{T}},\quad
\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{*}=\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1},\quad
(\boldsymbol{A B})^{*}=\boldsymbol{B}^{*}\boldsymbol{A}^{*},\quad
\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{*}=|\boldsymbol{A}|^{n-2}\boldsymbol{A}."></app-formula>
      </p>
      <p class="text-subsubtitle">三、用伴随矩阵求可逆矩阵的逆矩阵</p>
      <p class="text-content">
       步骤：</p>
      <p class="text-content">
        (1)判断|A|是否为0；</p>
      <p class="text-content">
        (2)写出<app-formula formulaId="A*" [displayMode]="false"></app-formula>；</p>
      <p class="text-content">
        (3)<app-formula formulaString="\boldsymbol{A}^{-1} = \frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}^{*} = \frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \begin{bmatrix}
A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\
A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\
\vdots & \vdots &  & \vdots \\
A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}
\end{bmatrix}" [displayMode]="false"></app-formula></p>
      <p class="text-content">
        注意<app-formula formulaString="A_{ij}" [displayMode]="false"></app-formula>的位置及正、负号.
      </p>
      <p class="text-subsubtitle">四、求伴随矩阵的方法</p>
      <p class="text-content-bold">方法一 <span class="text-content">用定义.先求<app-formula formulaString="A_{ij}" [displayMode]="false"></app-formula>，再拼成<app-formula formulaId="A*" [displayMode]="false"></app-formula></span>
      <p class="text-content-bold">方法二 <span class="text-content">用公式.若A可逆，则<app-formula formulaString="\boldsymbol{A}^{*} = |\boldsymbol{A}| \boldsymbol{A}^{-1}" [displayMode]="false"></app-formula></span>
      </p>
    </section>
    <section id="section4" class="content-section">
      <p class="text-subtitle">初等变换与初等矩阵</p>
      <p class="text-subsubtitle">一、初等变换</p>
      <p class="text-content">
        (1)一个非零常数乘矩阵的某一行（列）；
      </p>
      <p class="text-content">
        (2)互换矩阵中某两行（列）的位置；
      </p>
      <p class="text-content">
        (3)将矩阵的某一行（列）的k倍加到另一行（列）.
      </p>
      <p class="text-content">
        以上三种变换称为矩阵的初等行（列）变换，且分别称为倍乘、互换、倍加初等行（列）变换.
      </p>
      <p class="text-subsubtitle">二、初等矩阵的定义</p>
      <p class="text-content">
        由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，以3阶矩阵为例.</p>
      <p class="text-content-bold">(1)<span class="text-content"><app-formula formulaString="\boldsymbol{E}_{2}(k)=\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & k & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]" [displayMode]="false"></app-formula>,E的第2行（或第2列）乘k倍，称为倍乘初等矩阵.</span></p>
      <p class="text-content">
        定义：<app-formula formulaString="\boldsymbol{E}_{i}(k)(k \neq 0)" [displayMode]="false"></app-formula>表示单位矩阵E的第i行(或第i列)乘以非零常数k所得的初等矩阵.
      </p>
      <p class="text-content-bold">(2)<span class="text-content">对n阶矩阵A进行初等行变换，相当于在矩阵A的左边乘以对应的初等矩阵.同样，对A进行初等列变换，相当于在矩阵A的右边乘以对应的初等矩阵.</span>
      </p>
      <p class="text-content-bold">(3)<span class="text-content">.<app-formula formulaString="\boldsymbol{E}_{12} = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}" [displayMode]="false"></app-formula>,E的第1,2行（或第1,2列）互换，称为互换初等矩阵.</span>
      </p>
      <p class="text-content">
        定义：<app-formula formulaString="\boldsymbol{E}_{ij}" [displayMode]="false"></app-formula>表示单位矩阵E交换第i行与第j行（或交换第i列与第j列）所得的初等矩阵.
      </p>
      <p class="text-content-bold">(4)<span class="text-content"><app-formula formulaString="\boldsymbol{E}_{31} = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
k & 0 & 1
\end{bmatrix}" [displayMode]="false"></app-formula>,E的第1行的k倍加到第3行（或第3列的k倍加到第1列），称为倍加初等矩阵.</span>
      </p>
      <p class="text-content">
        定义：<app-formula formulaString="\boldsymbol{E}_{ij}(k)" [displayMode]="false"></app-formula>表示单位矩阵E的第j行的k倍加到第i行（或第i列的k倍加到第j列）所得的初等矩阵.
      </p>
      <p class="text-subsubtitle">三、初等矩阵的性质与重要公式</p>
      <p class="text-content-bold">(1)<span class="text-content">初等矩阵的转置仍是初等矩阵.</span>
      </p>
      <p class="text-content-bold">(2)<span class="text-content">因<app-formula formulaString="\left|\boldsymbol{E}_{i}(k)\right|=k \neq 0,\quad
\left|\boldsymbol{E}_{i j}\right|=-1 \neq 0,\quad
\left|\boldsymbol{E}_{i j}(k)\right|=1 \neq 0," [displayMode]="true"></app-formula>
      故初等矩阵都是可逆矩阵，且<app-formula formulaString="\left[\boldsymbol{E}_{i}(k)\right]^{-1}=\boldsymbol{E}_{i}\left(\frac{1}{k}\right),\quad
\boldsymbol{E}_{i j}^{-1}=\boldsymbol{E}_{i j},\quad
\left[\boldsymbol{E}_{i j}(k)\right]^{-1}=\boldsymbol{E}_{i j}(-k)," [displayMode]="true"></app-formula>
      其逆矩阵仍是同一类型的初等矩阵.</span>
      </p>
      <p class="text-content-bold">(3)<span class="text-content">若A是可逆矩阵，则A可以表示成有限个初等矩阵的乘积，即<app-formula formulaString="\boldsymbol{A} = \boldsymbol{P}_{1} \boldsymbol{P}_{2} \cdots \boldsymbol{P}_{s}" [displayMode]="false"></app-formula>,其中<app-formula formulaString="\boldsymbol{A} = \boldsymbol{P}_{1}， \boldsymbol{P}_{2}， \cdots， \boldsymbol{P}_{s}" [displayMode]="false"></app-formula>是初等矩阵.</span>
      </p>
      <p class="text-subsubtitle">四、用初等变换求逆矩阵的方法</p>
      <p class="text-content">
        <app-formula formulaString="[A \vdots E] \xrightarrow{\text{初等行变换}} [E \vdots A^{-1}]" [displayMode]="true"></app-formula>
        <app-formula formulaString="\left[\begin{array}{l}
\boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{E}
\end{array}\right]
\xrightarrow{\text{初等列变换}}
\left[\begin{array}{c}
\boldsymbol{E} \\
\boldsymbol{A}^{-1}
\end{array}\right]" [displayMode]="true"></app-formula>
      </p>
      <p class="text-subsubtitle">五、行阶梯形矩阵与行最简阶梯形矩阵</p>
      <p class="text-content-bold">(1)<span class="text-content">a.若有零行，则零行全都位于非零行的下方；b.各非零行左起第一个非零元素的列指标由上至下是严格增大的.</span>
      <p class="text-content-bold">(2)<span class="text-content">一个行阶梯形矩阵称为行最简阶梯形矩阵，如果其非零行的第一个非零元素为1，并且这些非零元素所在列的其他元素均为0.</span>
      </p>
      <p class="text-subsubtitle">六、简单分块矩阵的逆</p>
      <p class="text-content">
        若A，B均是可逆方阵，则
        <app-formula formulaString="\left[\begin{array}{ll}
\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\
\boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}
\end{array}\right]^{-1} =
\left[\begin{array}{cc}
\boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O} \\
\boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1}
\end{array}\right], \quad
\left[\begin{array}{ll}
\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}
\end{array}\right]^{-1} =
\left[\begin{array}{cc}
\boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \\
\boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O}
\end{array}\right]" [displayMode]="true"></app-formula>
      </p>
    </section>
    <section id="section5" class="content-section">
      <p class="text-subtitle">等价矩阵和矩阵的秩</p>
      <p class="text-subsubtitle">一、等价矩阵和矩阵的等价标准形</p>
      <p class="text-content">
        设A，B均是mxn矩阵，若存在可逆矩阵<app-formula formulaString="\boldsymbol{P}_{m \times m}, \boldsymbol{Q}_{n \times n}"></app-formula>，使得PAQ=B，则称A，B是等价矩阵，记作<app-formula formulaString="\boldsymbol{A} \cong \boldsymbol{B}"></app-formula>.
      </p>
      <p class="text-content">
      A是一个mxn矩阵，则A等价于形如<app-formula formulaString="\left[ \begin{array}{cc}
E_r & O \\
O & O \\
\end{array} \right]"></app-formula>的矩阵(E中的r恰是r(A)),后者称为A的等价标准形.等价标准形是唯一的，即若r(A)=r,则存在可逆矩阵P,Q,使得<app-formula formulaString="\boldsymbol{P A Q}=\left[\begin{array}{cc}
\boldsymbol{E}_{r} & \boldsymbol{O} \\
\boldsymbol{O} & \boldsymbol{O}
\end{array}\right]" [displayMode]="true"></app-formula>.
      </p>
      <p class="text-subsubtitle">二、矩阵的秩的定义</p>
      <p class="text-content">
        设A是mxn矩阵，若存在k阶子式不为零，而任意k+1阶子式（如果有的话）全为零，则r(A)=k，且若A为nxn矩阵，则<app-formula formulaString="r(\boldsymbol{A}_{n \times n}) = n \Leftrightarrow |\boldsymbol{A}| \neq 0 \Leftrightarrow \boldsymbol{A} \text{ 可逆。}" [displayMode]="true"></app-formula>
      </p>
      <p class="text-subsubtitle">三、矩阵的秩的求法</p>
      <p class="text-content">
      将A用初等行变换化为行阶梯形矩阵，其非零行数便是A的秩.
      </p>
      <p class="text-subsubtitle">四、有关秩的几个重要式子</p>
      <p class="text-content">
        设A是mxn矩阵，B是满足有关矩阵运算要求的矩阵，则
        <app-formula formulaString="(1) 0 \leqslant r(A) \leqslant \min\{m, n\};" [displayMode]="true"></app-formula>
        <app-formula formulaString="(2) r(k\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{A}) \quad (k \neq 0);" [displayMode]="true"></app-formula>
        <app-formula formulaString="(3) r(\boldsymbol{A B}) \leqslant \min\{r(\boldsymbol{A}), r(\boldsymbol{B})\};" [displayMode]="true"></app-formula>
        <app-formula formulaString="(4) r(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}) \leqslant r(\boldsymbol{A}) + r(\boldsymbol{B});" [displayMode]="true"></app-formula>
        (5)<app-formula formulaString="r\left(A^{*}\right)=\left\{\begin{array}{ll}
n, & r(A)=n, \\
1, & r(A)=n-1, \\
0, & r(A)<n-1,
\end{array}\right.,其中A为n(n>1)阶方阵" [displayMode]="true"></app-formula>
        (6) 设A是mxn矩阵，P,Q分别是m阶，n阶可逆矩阵，则<app-formula formulaString="r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{P A})=r(\boldsymbol{A Q})=r(\boldsymbol{P A Q});" [displayMode]="true"></app-formula>
      </p>
    </section>
  </nz-content>
</nz-layout>


